Este livro apresenta metodologias de análise de Sistemas Lineares, com ênfase nos Sistemas Invariantes no Tempo. São tratados sistemas contínuos e sistemas discretos e, para ambos, consideradas representações de entrada-saída (função de transferência) e representações internas (modelo de estado). Após um primeiro capítulo de modelação e representação matemática de sistemas físicos, aborda-se a análise nos domínios do tempo e da frequência, e ainda, a estabilidade, controlabilidade e observabilidade. São apresentadas técnicas de amostragem e discretizacão de sistemas contínuos e de aproximação de dinâmicas contínuas por dinâmicas discretas. Para além do tratamento formal dos assuntos, é dada especial importância à interpretação física dos conceitos fundamentais introduzidos e às relações tempo-frequência-controlabilidade-observabilidade. Todo o texto está ilustrado com exemplos motivadores acompanhados de código MATLAB. No fim de cada capítulo são incluídos problemas. Um conjunto de sete apêndices fornece ferramentas, de consulta rápida, para apoio ao estudo e compreensão dos diversos tópicos. O público alvo são os alunos de cursos de licenciaturas em Engenharia Electrotécnica, Mecânica, Aeroespacial e áreas afins. Nalguns aspectos este livro pode, ainda, servir de referência a cursos de pós-graduacão em Sistemas Dinâmicos Lineares.

"Este texto está bem estruturado e os temas são abordados  com detalhe e profundidade, revelando uma grande experiência e saber sobre o modo de ensinar. Apresenta numerosas figuras que constituem um complemento importante à exposição. De realçar também a inclusão, no fim de cada capítulo, de um vasto conjunto de problemas como forma de consolidação de conhecimentos e meio de auto-avaliação. Estamos, pois, perante um texto com qualidade, testado e sucessivamente melhorado ao longo de vários anos de leccionação."

Jorge Leite Martins de Carvalho

Professor Catedrático do Dep. de Engenharia de Computadores

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

INFORMAÇÕES

FORMATO: 235 X 170 mm

PÁGS.: 828 2 VOLUMES

ISBN: 972-8469-13-6 

ANO: 2002

PVP:  € 40.39 ( 6% IVA incluído)

COLECÇÃO: Ensino da Ciência e da Tecnologia - n.º 11

ÍNDICE

V O L U M E 1 

PREFÁCIO xv 

AGRADECIMENTOS xvii 

INTRODUÇÃO xix 

1 SISTEMAS FÍSICOS, MODELOS E REPRESENTAÇÕES 1

1.1 Estudo de Sistemas Físicos: Modelação, Representação Matemática, Análise e Projecto 3 

1.2 Exemplos de Modelação e Representação Matemática de Sistemas Físicos. 5 

1.2.1 Sistemas mecânicos 6 

1.2.2 Sistemas eléctricos 17 

1.2.3 Sistemas hidráulicos 20 

1.2.4 Sistemas térmicos 24 

1.2.5 Sistemas em economia e gestão 29 

1.2.6 Outros sistemas 37

1.3 Classificação e Caracterização dos Sistemas 40 

1.4 Representação de Entrada-Saída de SLITs. Função de Transferência 46 

1.4.1 Equação diferencial linear de ordem n 50 

1.4.2 Resposta impulsional 53 

1.4.3 Função de transferência 54 

1.4.4 Função de transferência e resposta impulsional 62 

1.4.5 Diagrama de blocos 63 

1.4.6 Pólos, zeros, polinómio característico 67 

1.4.7 Matriz de transferência 68 

1.4.8 Conceitos para SLITs discretos 70

1.5 Representação de Estado 75 

1.5.1 Variável de estado. Vector de estado. Espaço de estados 75 

1.5.2 Modelo de estado: equação de estado e de saída 80 

1.5.3 Representação gráfica do modelo de estado 92 

1.5.4 Formas canónicas (**) 94 

1.5.5 Transformação de coordenadas 105

1.6 Conversão Entre Representações 109 

1.6.1 Do modelo de estado para a matriz de transferência 110 

1.6.2 Da função de transferência para o modelo de estado 114 

1.6.3 Obtenção de formas canónicas 117

1.7 O MATLAB e a Representação de SLITs 127 

1.8 Problemas 130

2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SLITS 147 

2.1 Introdução 149 

2.2 Resposta no Tempo de SLITs Contínuos Com Representação Externa 150 

2.2.1 Valores particulares da resposta 152 

2.2.2 Cálculo da resposta 164

2.3 Casos Particulares 164 

2.3.1 SLIT de primeira ordem sem zeros 164 

2.3.2 SLIT de primeira ordem com um zero 169 

2.3.3 SLIT de segunda ordem sem zeros 171 

2.3.4 Outros casos particulares de sistemas de segunda ordem e de ordem superior 186 

2.3.5 sistemas de ordem superior. Pólos dominantes. 198

2.4 Identificação de Sistemas 201 

2.5 Resposta no Tempo de SLITs Discretos Com Representação Externa 210 

2.5.1 Valores particulares da resposta 211 

2.5.2 Cálculo da resposta 211 

2.5.3 SLIT de primeira ordem 212 

2.5.4 SLIT de segunda ordem 215

2.6 Resposta no Tempo de SLITs Contínuos Com Representação de Estado 216 

2.6.1 Solução da equação dinâmica x(t) = A(t)x(t) 217 

2.6.2 Solução da equação dinâmica x(t) = Ax(t) 224 

2.6.3 Propriedades da matriz de transição 227 

2.6.4 Sistemas dinâmicos não homogéneos. A fórmula de variação das constantes 239

2.6.5 Matriz resposta impulsional e matriz de transferência 243

2.7 Cálculo de eAt Pelo Método Directo 248 

2.8 Cálculo de eAt Com Recurso à Transformada de Laplace 249 

2.8.1 Expansão em fracções parciais de (sI - A)-1 251 

2.8.2 Cálculo de (sI - A)-1 256

2.9 Cálculo de eAt Como Função da Matriz A 264 

2.9.1 Teorema de Cayley-Hamilton 264 

2.9.2 Cálculo de eAt como combinação linear de A0, A1, ..., An-1 267

2.10 Cálculo de eAt, Usando Transformações de Semelhança 269 

2.10.1 Estrutura simples e não simples de uma matriz A 271 

2.10.2 Cálculo de eAt para matrizes de estrutura simples 273 

2.10.3 Cálculo de eAt para matrizes de estrutura não simples 278 

2.10.4 Vectores próprios generalizados de uma matriz 286 

2.10.5 Polinómios invariantes e divisores elementares de uma matriz polinomial (**) 290 

2.11 Modos de um SLIT 300

2.11.1 Interpretação dinâmica dos modos 302 

2.11.2 Os modos e a decomposição espectral da matriz A (**) 308 

2.11.3 Interpretação dinâmica dos zeros (**) 314

2.12 Resposta no Tempo de SLITs Discretos, com Representação de Estado 319 

2.12.1 Solução da equação dinâmica x(k + 1) = A(k)x(k) 319 

2.12.2 Solução da equação dinâmica x(k + 1) = Ax(k) 321 

2.12.3 Propriedades da matriz de transição 322 

2.12.4 Cálculo da matriz de transição 325 

2.12.5 Fórmula de variação das constantes 330

2.13 Amostragem e Discretização de SLITs Contínuos 331 

2.13.1 Amostragem de SLITs contínuos 334 

2.13.2 Discretização de SLITs contínuos 359

2.14 Problemas 377

ÍNDICE REMISSIVO 399

V O L U M E 2 

3 ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 411 

3.1 Introdução 413 

3.2 Função Resposta em Frequência de SLITs Contínuos 416 

3.3 Representação Gráfica da Função Resposta em Frequência de SLITs Contínuos 424 3.3.1 Diagrama de Bode 425 

3.3.2 Diagrama de Nyquist 431 

3.3.3 Diagrama de Nichols 432

3.4 Representação Assimptótica do Diagrama de Bode 432 

3.4.1 Relação amplitude-fase 455

3.5 Diagrama de Bode para Sistemas Particulares 463 

3.5.1 Sistemas de fase não mínima 464 

3.5.2 Sistemas com atraso de transporte 478

3.6 Especificações 483 

3.6.1 Largura de banda e relações tempo-frequência 484

3.7 Identificação de Sistemas 492 

3.8 Resposta em Frequência de SLITs Discretos 501 

3.8.1 Sistemas de primeira ordem 505 

3.8.2 Sistemas de segunda ordem 508 

3.8.3 Sistemas com zeros 509

3.9 Problemas 511

4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 529 

4.1 Introdução 531

4.2 O Conceito de Estabilidade 532 

4.3 Estabilidade Interna 535 

4.3.1 Estabilidade interna para sistemas contínuos 536 

4.3.2 Estabilidade interna para sistemas discretos 547

4.4 Estabilidade Externa - no Sentido BIBO 550 

4.4.1 Critérios de estabilidade BIBO para SLITs contínuos 552 

4.4.2 Critérios de estabilidade BIBO para SLITs discretos 559

4.5 Critério de Routh-Hurwitz 560 

4.5.1 Teste de Hurwitz 561 

4.5.2 Critério de Routh 562 

4.5.3 Aplicação do critério de Routh-Hurwitz a sistemas discretos 572

4.6 Critério de Jury 573 

4.6.1 Teste de Schur Cohn 573 

4.6.2 Descrição do Critério de Jury 575 

4.7 Problemas 577

5 CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 585 

5.1 Apresentação dos Conceitos 587 

5.2 Controlabilidade para SLITs Contínuos 597 

5.2.1 Equivalência entre conceitos de controlabilidade/acessibilidade 602 

5.2.2 Critério de controlabilidade para SLITs contínuos 605

5.3 Observabilidade para SLITs Contínuos 621 

5.3.1 Observabilidade 621 

5.3.2 Reconstrutibilidade 626 

5.3.3 Equivalência entre os conceitos de observabilidade e de reconstrutibilidade 627 

5.3.4 Critério de observabilidade para SLITs contínuos 628

5.4 Controlabilidade para SLITs Discretos 641 

5.4.1 Critérios de controlabilidade e de acessibilidade para SLITs discretos 644

5.5 Observabilidade para SLITs Discretos 653 

5.5.1 Critérios de observabilidade e de reconstrutibilidade para SLITs discretos 655

5.6 Dualidade 666 

5.7 Controlabilidade, Observabilidade e Formas Canónicas 672 

5.8 Controlabilidade, Observabilidade e Função de Transferência 680 

5.9 Análise Modal da Controlabilidade e Observabilidade (**) 685 

5.9.1 Análise modal da controlabilidade 687 

5.9.2 Análise modal da observabilidade 688

5.10 Controlabilidade, Observabilidade e Amostragem (**) 689 

5.11 Decomposição Canónica do Espaço de Estados (**) 694 

5.11.1 Alguns resultados sobre realização 697 

5.11.2 Representação de realizações não controláveis 699

5.11.3 Representação de realizações não observáveis 702 

5.11.4 Caso geral 704

5.12 Problemas 712

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 721 

A ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 727 

A.1 Igualdade, Adição e Multiplicação por um Escalar 730 

A.2 Multiplicação de Matrizes 731 

A.3 Transposta de Uma Matriz 731 

A.4 Determinante de uma Matriz 732 

A.5 Inversa de uma Matriz 738 

A.6 Traço de uma Matriz 741 

A.7 Valores Próprios e Vectores Próprios 742 

A.8 Decomposição Espectral de uma Matriz 748 

A.9 O MATLAB como Ferramenta de Manipulação Algébrica 753

B TABELAS DE TRANSFORMADAS 757 

C ÁLGEBRA DOS DIAGRAMAS DE BLOCOS 761 

C.1 Introdução 763 

C.2 Blocos em Cascata 764 

C.3 Forma Canónica da Realimentação 766 

C.4 Simplificação Sucessiva de Diagramas de Blocos 767 

C.4.1 Método algébrico 767 

C.4.2 Método gráfico 767

C.5 Sistemas com Mais do que uma Entrada 769

D SIMULAÇÃO 773 

D.1 Simulação Analógica 775 

D.1.1 Simulação analógica de funções de transferência 778 

D.1.2 Simulação analógica de um sistema em cadeia fechada 788 

D.1.3 Escala de tempo 789 

D.1.4 Simulação de sistemas de controlo por resolução analógica de equações diferenciais 791 

D.1.5 Escala de amplitude 796

D.2 Simulação Digital 799

E FUNÇÕES DE MATRIZES 803

F ESPAÇO DOMÍNIO E ESPAÇO NULO DE UM OPERADOR LINEAR 809 

G REGRA DE LEIBNITZ 813

ÍNDICE REMISSIVO 817

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